En matemáticas, ¿qué es un conjugado complejo?

En matemáticas, un conjugado complejo es un par de números de dos componentes llamados números complejos. Cada uno de estos números complejos posee un componente de número real agregado a un componente imaginario. Aunque su valor es igual, el signo de uno de los componentes imaginarios en el par de números conjugados complejos es opuesto al signo del otro. A pesar de tener componentes imaginarios, los conjugados complejos se utilizan para describir las realidades físicas. El uso de conjugados complejos funciona a pesar de la presencia de componentes imaginarios, porque cuando los dos componentes se multiplican, el resultado es un número real.

Los números imaginarios se definen como cualquier número que al cuadrado resulte en un número negativo real. Esto puede reexpresarse en otros términos para simplificar. Un número imaginario es cualquier número real multiplicado por la raíz cuadrada de uno negativo (-1), por sí mismo ininteligible. De esta forma, un conjugado complejo es un par de números que se pueden escribir, y = a + bi e y = a – bi, donde "i" es la raíz cuadrada de -1. Formalísticamente, para distinguir los dos valores y, uno generalmente se escribe con una barra sobre la letra, ӯ, aunque ocasionalmente se usa un asterisco.

Para demostrar que la multiplicación de dos números complejos conjugados produce un resultado real, considere un ejemplo, y = 7 + 2i y ӯ = 7–2i. Multiplicar estos dos da yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i ² = 49 + 4 = 53. Tal resultado real de la multiplicación conjugada compleja es importante, particularmente al considerar los sistemas en los niveles atómico y subatómico. Con frecuencia, las expresiones matemáticas para pequeños sistemas físicos incluyen un componente imaginario. La disciplina en la que esto es especialmente importante es la mecánica cuántica, la física no clásica de los muy pequeños.

En mecánica cuántica, las características de un sistema físico que consiste en una partícula se describen mediante una ecuación de onda. Todo lo que se aprende sobre la partícula en su sistema puede ser revelado por estas ecuaciones. Con frecuencia, las ecuaciones de onda presentan un componente imaginario. Multiplicar la ecuación por su complejo conjugado da como resultado una "densidad de probabilidad" físicamente interpretable. Las características de la partícula pueden determinarse manipulando matemáticamente esta densidad de probabilidad.

A modo de ejemplo, el uso de la densidad de probabilidad es importante en la emisión espectral discreta de radiación de los átomos. Tal aplicación de densidad de probabilidad se llama "probabilidad de nacimiento", en honor al físico alemán Max Born. La importante interpretación estadística estrechamente relacionada de que la medición de un sistema cuántico dará ciertos resultados específicos se llama la regla de Born. Max Born recibió el Premio Nobel de Física de 1954 por su trabajo en esta área. Desafortunadamente, los intentos de derivar la regla de Born de otras derivaciones matemáticas se han encontrado con resultados mixtos.