¿Qué son los coeficientes binomiales?

Los coeficientes binomiales definen el número de combinaciones que son posibles al elegir un cierto número de resultados de un conjunto de un tamaño dado. Se usan en el teorema del binomio, que es un método para expandir un binomio, una función polinómica que contiene dos términos. El triángulo de Pascal, por ejemplo, se compone únicamente de coeficientes binomiales.

Matemáticamente, los coeficientes binomiales se escriben como dos números alineados verticalmente dentro de un conjunto de paréntesis. El número superior, representado por "n", es el número total de posibilidades. Generalmente representado por "r" o "k", el número inferior es el número de resultados desordenados que se seleccionarán de "n". Ambos números son positivos y "n" es mayor o igual que "r".

El coeficiente binomial, o el número de formas en que "r" puede seleccionarse de "n", se calcula utilizando factoriales. Un factorial es un número multiplicado por el siguiente número más pequeño multiplicado por el siguiente número más pequeño, y así sucesivamente hasta que la fórmula llegue a uno. Se representa matemáticamente como n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Factorial cero es igual a uno.

Para un coeficiente binomial, la fórmula es n factorial (n!) Dividido por el producto de (n - r)! veces r !, que generalmente se puede reducir. Si n es 5 yr es 2, por ejemplo, la fórmula es 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). En este caso, 3 * 2 * 1 está tanto en el numerador como en el denominador, por lo que se puede cancelar fuera de la fracción. Esto da como resultado (5 * 4) / (2 * 1), que equivale a 10.

El teorema binomial es una forma de calcular la expansión de una función binomial, representada por (a + b) ^ n - a más b a la enésima potencia; ayb pueden estar compuestos de variables, constantes o ambos. Para expandir el binomio, el primer término en la expansión es el coeficiente binomial de ny 0 veces a ^ n. El segundo término es el coeficiente binomial de n y 1 veces a ^ (n-1) b. Cada término posterior de la expansión se calcula sumando 1 al número inferior en el coeficiente binomial, elevando a a la potencia de n menos ese número, y elevando b a la potencia de ese número, continuando hasta que el número inferior del coeficiente sea igual norte.

Cada número en el triángulo de Pascal es un coeficiente binomial que se puede calcular usando la fórmula para los coeficientes binomiales. El triángulo comienza con un 1 en el punto superior, y cada número en una fila inferior se puede calcular sumando las dos entradas en diagonal por encima de él. El triángulo de Pascal tiene varias propiedades matemáticas únicas: además de los coeficientes binomiales, también contiene números de Fibonacci y números figurados.