¿Qué son los logaritmos en expansión?
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Guy
Muchas ecuaciones se pueden simplificar expandiendo logaritmos. El término "logaritmos expansivos" no se refiere a logaritmos que se expanden sino a un proceso por el cual una expresión matemática se sustituye por otra de acuerdo con reglas específicas. Hay tres de esas reglas. Cada uno de ellos corresponde a una propiedad particular de los exponentes porque tomar un logaritmo es el inverso funcional de la exponenciación: log 3 (9) = 2 porque 3 2 = 9.
La regla más común para expandir logaritmos se usa para separar productos. El logaritmo de un producto es la suma de los respectivos logaritmos: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Esta ecuación se deriva de la fórmula a x * a y = a x + y . Se puede extender a múltiples factores: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Elevar un número a una potencia negativa es equivalente a elevar su recíproco a una potencia positiva: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. La propiedad equivalente para logaritmos es que log a (1 / x ) = -log a ( x ). Cuando esta propiedad se combina con la regla del producto, proporciona una ley para tomar el logaritmo de una relación: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
La regla final para expandir los logaritmos se relaciona con el logaritmo de un número elevado a una potencia. Usando la regla del producto, uno encuentra que log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). Del mismo modo, log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). En general, registre a ( x n ) = n * log a ( x ), incluso si n no es un número entero.
Estas reglas se pueden combinar para expandir las expresiones de registro de caracteres más complejos. Por ejemplo, uno puede aplicar la segunda regla para registrar a ( x 2 y / z ), obteniendo la expresión log a ( x 2 y ) - log a (z). Entonces, la primera regla se puede aplicar al primer término, produciendo log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Por último, la aplicación de la tercera regla lleva a la expresión 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
La expansión de los logaritmos permite que muchas ecuaciones se resuelvan rápidamente. Por ejemplo, alguien podría abrir una cuenta de ahorros con $ 400 dólares estadounidenses. Si la cuenta paga el 2 por ciento de interés anual compuesto mensualmente, la cantidad de meses requeridos antes de que la cuenta duplique su valor se puede encontrar con la ecuación 400 * (1 + 0.02 / 12) m = 800. Dividiendo por 400 rendimientos (1 + 0.02 / 12) m = 2. Tomar el logaritmo en base 10 de ambos lados genera la ecuación log 10 (1 + 0.02 / 12) m = log 10 (2).
Esta ecuación se puede simplificar usando la regla de potencia para m * log 10 (1 + 0.02 / 12) = log 10 (2). Usar una calculadora para encontrar los logaritmos produce m * (0.00072322) = 0.30102. Al resolver por m, se encuentra que tomará 417 meses para que la cuenta duplique su valor si no se deposita dinero adicional.