¿Qué es una forma canónica?

Casi todos los objetos matemáticos se pueden expresar de múltiples maneras. Por ejemplo, la fracción 2/6 es equivalente a 5/15 y -4 / -12. Una forma canónica es un esquema específico que los matemáticos usan para describir objetos de una clase dada de una manera codificada y única. Cada objeto en la clase tiene una única representación canónica que coincide con la plantilla de la forma canónica.

Para los números racionales, la forma canónica es a / b , donde a y b no tienen factores comunes yb es positivo. Dicha fracción se describe típicamente como "en los términos más bajos". Cuando se pone en forma canónica, 2/6 se convierte en 1/3. Si dos fracciones son iguales en valor, sus representaciones canónicas son idénticas.

Las formas canónicas no siempre son la forma más común de denotar un objeto matemático. Las ecuaciones lineales bidimensionales tienen la forma canónica Ax + By + C = 0, donde C es 1 o 0. Sin embargo, los matemáticos a menudo emplean la forma pendiente-intersección - y = mx + b - cuando realizan cálculos básicos. La forma pendiente-intersección no es canónica; no se puede usar para describir la línea x = 4.

Los matemáticos encuentran las formas canónicas particularmente útiles al analizar sistemas abstractos, en los que dos objetos pueden parecer notablemente diferentes pero son matemáticamente equivalentes. El conjunto de todos los caminos cerrados en una rosquilla tiene la misma estructura matemática que el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) de enteros. Un matemático puede ver esta conexión fácilmente si usa formas canónicas para describir ambos conjuntos. Los dos conjuntos tienen la misma representación canónica, por lo que son equivalentes. Para responder una pregunta topológica sobre curvas en una rosquilla, un matemático podría encontrar más fácil responder una pregunta algebraica equivalente sobre pares de enteros ordenados.

Muchos campos de estudio emplean matrices para describir sistemas. Una matriz se define por sus entradas individuales, pero esas entradas con frecuencia no transmiten el carácter de la matriz. Las formas canónicas ayudan a los matemáticos a saber cuándo dos matrices están relacionadas de alguna manera que de otra manera no sería obvia.

Las álgebras booleanas, la estructura que utilizan los lógicos al describir proposiciones, tienen dos formas canónicas: forma normal disyuntiva y forma normal conjuntiva. Estos son algebraicamente equivalentes a la factorización o expansión de polinomios respectivamente. Un breve ejemplo ilustra esta conexión.

El director de una escuela secundaria podría decir: "El equipo de fútbol debe ganar uno de sus dos primeros juegos y vencer a nuestros rivales, los Hornets, en su tercer juego, o de lo contrario el entrenador será despedido". Este reclamo puede escribirse lógicamente como ( w ₁ + w ₂ ) * H + F , donde “+” es la operación lógica “o” y “*” es la operación lógica “y”. La forma normal disyuntiva para esta expresión es w ₁ * H + w ₂ * H + F. Su forma normal conjuntiva para es ( w ₁ + w ₂ + F ) * ( H + F ). Las tres expresiones son verdaderas bajo exactamente las mismas condiciones, por lo que son lógicamente equivalentes.

Los ingenieros y físicos también hacen uso de formas canónicas al considerar los sistemas físicos. A veces, un sistema será matemáticamente similar a otro a pesar de que no se parecen en nada. Las ecuaciones de matriz diferencial que se usan para modelar una podrían ser idénticas a las usadas para modelar la otra. Estas similitudes se hacen evidentes cuando los sistemas se moldean en forma canónica, como la forma canónica observable o la forma canónica controlable.