¿Qué es un coset?

Un coset es un tipo específico de subconjunto de un grupo matemático. Por ejemplo, uno podría considerar el conjunto de todos los múltiplos integrales de 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, que se pueden denotar como 7 Z. Sumar 3 a cada número genera el conjunto {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, que los matemáticos describen como 7 Z + 3. Este último conjunto se llama el conjunto de 7 Z generado por 3 .

Hay dos propiedades importantes de 7 Z. Si un número es un múltiplo de 7, también lo es su inverso aditivo. El inverso aditivo de 7 es -7, el inverso aditivo de 14 es -14, y así sucesivamente. Además, agregar un múltiplo de 7 a otro múltiplo de 7 produce un múltiplo de 7. Los matemáticos describen esto diciendo que los múltiplos de 7 están "cerrados" bajo la operación de suma.

Estas dos características son la razón por la cual 7 Z se llama un subgrupo de los enteros bajo suma. Solo los subgrupos tienen cosets. El conjunto de todos los números cúbicos, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, no tiene cosets de la misma manera que 7 Z porque no se cierra con la suma : 1 + 8 = 9, y 9 no es un número cúbico. Del mismo modo, el conjunto de todos los números pares positivos, {2, 4, 6, ...}, no tiene cosets porque no contiene inversos.

La razón de estas estipulaciones es que cada número debe estar exactamente en un coset. En el caso de {2, 4, 6, ...}, 6 está en el conjunto generado por 4 y está en el conjunto generado por 2, pero esas dos cosets no son idénticas. Estos dos criterios son suficientes para garantizar que cada elemento esté exactamente en un coset.

Existen cajas en cualquier grupo, y algunos grupos son mucho más complicados que los enteros. Un grupo útil que uno podría considerar es el conjunto de todas las formas de mover un cuadrado sin cambiar la región que cubre. Si un cuadrado gira 90 grados, no hay cambio aparente en la forma. Del mismo modo, se puede voltear verticalmente, horizontalmente o en diagonal sin cambiar la región que cubre el cuadrado. Los matemáticos llaman a este grupo D ₄ .

D ₄ tiene ocho elementos. Dos elementos se consideran idénticos si dejan todas las esquinas en el mismo lugar, por lo que girar el cuadrado en el sentido de las agujas del reloj cuatro veces se considera lo mismo que no hacer nada. Con esto en mente, los ocho elementos se pueden denotar e, r, r ² , r ³ , v, h, d _d y d _d . La " e " se refiere a no hacer nada, y " r ² " denota hacer dos rotaciones. Cada uno de los últimos cuatro elementos se refiere a voltear el cuadrado: vertical, horizontal o a lo largo de sus diagonales inclinadas hacia arriba o hacia abajo.

Los enteros son un grupo abeliano, lo que significa que su operación satisface la ley conmutativa: 3 + 2 = 2 + 3. D ₄ no es abeliano. Girar un cuadrado y luego voltearlo horizontalmente no mueve las esquinas de la misma manera que voltearlo y luego rotarlo.

Al trabajar en grupos no conmutativos, los matemáticos suelen usar un * para describir la operación. Un poco de trabajo muestra que girar el cuadrado y luego voltearlo horizontalmente, r * h , es lo mismo que voltearlo a través de su diagonal hacia abajo. Así, r * h = d _d . Voltear el cuadrado y luego rotarlo es equivalente a voltearlo a través de su diagonal hacia arriba, entonces r * h = d _u .

El orden importa en D ₄ , por lo que uno debe ser más preciso al describir cosets. Cuando se trabaja en los enteros, la frase "el conjunto de 7 Z generado por 3" no es ambiguo porque no importa si se agrega 3 a la izquierda o derecha de cada múltiplo de 7. Sin embargo, para un subgrupo de D ₄ , diferente los pedidos crearán diferentes cosets. Según los cálculos descritos anteriormente, r * H , el coset izquierdo de H generado por r es igual a { r, d _d } pero H * r es igual a ( r, d _u }. El requisito de que ningún elemento esté en dos cosets diferentes no se aplica al comparar cosetas derechas con cosetas izquierdas.

Las cosetas derechas de H no coinciden con sus cosetas izquierdas. No todos los subgrupos de D ₄ comparten esta propiedad. Se puede considerar el subgrupo R de todas las rotaciones del cuadrado, R = { e, r, r ² , r ³ }.

Un pequeño cálculo muestra que sus cosetas izquierdas son las mismas que sus cosetas derechas. Tal subgrupo se llama un subgrupo normal. Los subgrupos normales son extremadamente importantes en el álgebra abstracta porque siempre codifican información adicional. Por ejemplo, las dos posibles cosets de R equivalen a las dos situaciones posibles "el cuadrado ha sido volteado" y "el cuadrado no ha sido volteado".