¿Qué es un determinante?

Las matrices son objetos matemáticos que transforman formas. El determinante de una matriz cuadrada A, denotada | A |, es un número que resume el efecto que A tiene sobre el tamaño y la orientación de una figura. Si [ ab ] es el vector de la fila superior para A y [ cd ] es el vector de la fila inferior, entonces | A | = ad-bc .

Un determinante codifica información útil sobre cómo una matriz transforma regiones. El valor absoluto del determinante indica el factor de escala de la matriz, cuánto estira o encoge una figura. Su signo describe si la matriz voltea las figuras, produciendo una imagen especular. Las matrices también pueden sesgar regiones y rotarlas, pero el determinante no proporciona esta información.

Aritméticamente, la acción transformadora de una matriz está determinada por la multiplicación de la matriz. Si A es una matriz de 2 × 2 con la fila superior [ ab ] y la fila inferior [ cd ], entonces [1 0] * A = [ ab ] y [0 1] * A = [ cd ]. Esto significa que A lleva el punto (1,0) al punto ( a, b ) y el punto (0,1) al punto ( c, d ). Todas las matrices dejan el origen inmóvil, por lo que uno ve que A transforma el triángulo con puntos finales en (0,0), (0,1) y (1,0) a otro triángulo con puntos finales en (0,0), ( a , b ) y ( c, d ). La relación del área de este nuevo triángulo con el triángulo original es igual a | ad-bc |, el valor absoluto de | A |.

El signo del determinante de una matriz describe si la matriz voltea una forma. Considerando el triángulo con puntos finales en (0,0), (0,1) y (1,0), si una matriz A mantiene el punto (0,1) estacionario mientras lleva el punto (1,0) al punto (-1,0), luego ha volteado el triángulo sobre la línea x = 0. Como A ha volteado la figura, | A | será negativo La matriz no cambia el tamaño de una región, por lo tanto | A | debe ser -1 para ser coherente con la regla de que el valor absoluto de | A | describe cuánto A estira una figura.

La aritmética de la matriz sigue la ley asociativa, lo que significa que ( v * A) * B = v * (A * B). Geométricamente, esto significa que la acción combinada de transformar primero una forma con la matriz A y luego transformar la forma con la matriz B es equivalente a transformar la forma original con el producto (A * B). Se puede deducir de esta observación que | A | * | B | = | A * B |.

La ecuación | A | * | B | = | A * B | tiene una consecuencia importante cuando | A | = 0. En ese caso, la acción de A no se puede deshacer por alguna otra matriz B. Esto se puede deducir observando que si A y B eran inversas, entonces (A * B) no estira ni voltea ninguna región, entonces | A * B | = 1. Desde | A | * | B | = | A * B |, esta última observación lleva a la ecuación imposible 0 * | B | = 1.

La afirmación inversa también se puede mostrar: si A es una matriz cuadrada con determinante distinto de cero, entonces A tiene un inverso . Geométricamente, esta es la acción de cualquier matriz que no aplana una región. Por ejemplo, aplastar un cuadrado en un segmento de línea se puede deshacer con otra matriz, llamada inversa. Tal inverso es el análogo de matriz de un recíproco.