¿Qué es un número primo de Mersenne?

Un número primo de Mersenne es un número primo que es uno menos que una potencia de dos. Alrededor de 44 han sido descubiertos hasta la fecha. Durante muchos años se pensó que todos los números de la forma 2 ⁿ - 1 eran primos. Sin embargo, en el siglo XVI, Hudalricus Regius demostró que 2 ¹¹ - 1 era 2047, con los factores 23 y 89. En los años siguientes se mostraron otros contraejemplos. A mediados del siglo XVII, un monje francés, Marin Mersenne, publicó un libro, Cogitata Physica-Mathematica . En ese libro, afirmó que 2 ⁿ - 1 era primo para un valor n de 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257.

En ese momento, era evidente que no había manera de que pudiera haber probado la verdad de ninguno de los números más altos. Al mismo tiempo, sus compañeros tampoco pudieron probar o refutar su afirmación. De hecho, no fue sino hasta un siglo después que Euler pudo demostrar que el primer número no probado en la lista de Mersenne, 2 ³¹ - 1, era de hecho primo. Un siglo después, a mediados del siglo XIX, se demostró que 2 ¹²⁷ - 1 también era primo. No mucho después, se demostró que 2 ⁶¹ - 1 también era primo, lo que demuestra que Mersenne se había perdido al menos un número en su lista. A principios del siglo XX, se agregaron dos números más que se había perdido, 2 ⁸⁹ - 1 y 2 ¹⁰⁷ - 1. Con la llegada de las computadoras, comprobar si los números eran primos o no se volvió mucho más fácil, y para 1947 toda la gama de Mersenne los números primos originales de Mersenne habían sido verificados. La lista final agregó 61, 89 y 107 a su lista, y resultó que 257 no era de hecho primo.

Sin embargo, por su importante trabajo en el establecimiento de una base para que los matemáticos posteriores trabajen, su nombre se le dio a ese conjunto de números. Cuando un número de 2 ⁿ - 1 es de hecho primo, se dice que es uno de los números primos de Mersenne.

Un número primo de Mersenne también tiene una relación con lo que se conoce como números perfectos. Los números perfectos han tenido un lugar importante en el misticismo basado en números durante miles de años. Un número perfecto es un número n que es igual a la suma de sus divisores, excluyéndose a sí mismo. Por ejemplo, el número 6 es un número perfecto, porque tiene los divisores 1, 2 y 3, y 1 + 2 + 3 también es igual a 6. El siguiente número perfecto es 28, con los divisores 1, 2, 4 , 7 y 14. El siguiente salta hasta 496, y el siguiente es 8128. Cada número perfecto tiene la forma 2 ^n-1 (2 ⁿ - 1), donde 2 ⁿ - 1 también es un número primo de Mersenne. Esto significa que al encontrar un nuevo número primo de Mersenne, también nos enfocamos en encontrar nuevos números perfectos.

Al igual que muchos números de este tipo, encontrar un nuevo número primo de Mersenne se vuelve más difícil a medida que avanzamos, porque los números se vuelven sustancialmente más complejos y requieren mucha más potencia informática para verificar. Por ejemplo, mientras que el décimo número primo de Mersenne, 89, se puede verificar rápidamente en una computadora doméstica, el vigésimo, 4423, gravará una computadora doméstica, y el trigésimo, 132049 requiere una gran cantidad de potencia informática. El cuadragésimo número primo conocido de Mersenne, 20996011, contiene más de seis millones de dígitos individuales.

La búsqueda de un nuevo número primo de Mersenne continúa, ya que juegan un papel importante en una serie de conjeturas y problemas. Quizás la pregunta más antigua e interesante es si hay un número perfecto impar. Si tal cosa existiera, tendría que ser divisible por al menos ocho números primos, y tendría al menos setenta y cinco factores primos. Uno de sus principales divisores sería mayor que 10 ²⁰ , por lo que sería un número realmente monumental. Sin embargo, a medida que la potencia informática continúe aumentando, cada nuevo número primo de Mersenne se volverá un poco menos difícil, y quizás estos antiguos problemas eventualmente se resuelvan.