¿Qué es un espacio de fase?

Un espacio de fase es una abstracción que los físicos usan para visualizar y estudiar sistemas; cada punto en este espacio virtual representa un solo estado posible del sistema o una de sus partes. Estos estados generalmente están determinados por el conjunto de variables dinámicas relevantes para la evolución del sistema. Los físicos consideran que el espacio de fase es especialmente útil para analizar sistemas mecánicos, como péndula, planetas que orbitan una estrella central o masas conectadas por resortes. En estos contextos, el estado de un objeto está determinado por su posición y velocidad o, de manera equivalente, su posición y momento. El espacio de fase también se puede utilizar para estudiar sistemas no clásicos, e incluso no deterministas, como los que se encuentran en la mecánica cuántica.

Una masa que se mueve hacia arriba y hacia abajo en un resorte proporciona un ejemplo concreto de un sistema mecánico adecuado para ilustrar el espacio de fase. El movimiento de la masa está determinado por cuatro factores: la longitud del resorte, la rigidez del resorte, el peso de la masa y la velocidad de la masa. Solo el primero y el último de estos cambios con el tiempo, suponiendo que se ignoren los cambios mínimos en la fuerza de la gravedad. Por lo tanto, el estado del sistema en un momento dado está determinado únicamente por la longitud del resorte y la velocidad de la masa.

Si alguien tira de la masa hacia abajo, el resorte podría estirarse a una longitud de 10 pulgadas (25,4 cm). Cuando se suelta la masa, se encuentra momentáneamente en reposo, por lo que su velocidad es 0 in / s. El estado del sistema en este momento se puede describir como (10 in, 0 in / s) o (25.4 cm, 0 cm / s).

La masa se acelera hacia arriba al principio y luego se ralentiza a medida que el resorte se comprime. La masa puede dejar de ascender cuando el resorte tiene 6 pulgadas (15,2 cm) de largo. En ese momento, la masa está nuevamente en reposo, por lo que el estado del sistema se puede describir como (6 in, 0 in / s) o (15.2 cm, 0 cm / s).

En los puntos finales, la masa tiene velocidad cero, por lo que no es sorprendente que se mueva más rápido en la mitad de la marca entre ellos, donde la longitud del resorte es de 8 pulgadas (20,3 cm). Se podría suponer que la velocidad de la masa en ese punto es de 4 pulgadas / s (10,2 cm / s). Al pasar el punto medio hacia arriba, el estado del sistema se puede describir como (8 in, 4 in / s) o (20.3 cm, 10.2 cm / s). En el camino hacia abajo, la masa se moverá hacia abajo, por lo que el estado del sistema en ese punto es (8 in, -4 in / s) o (20.3 cm, -10.2 cm / s).

Graficando estos y otros estados que el sistema experimenta produce una elipse que retrata la evolución del sistema. Tal gráfico se llama diagrama de fase. La trayectoria específica a través de la cual pasa un sistema particular es su órbita.

Si la masa se hubiera reducido más al principio, la figura trazada en el espacio de fase sería una elipse más grande. Si la masa se hubiera liberado en el punto de equilibrio, el punto donde la fuerza del resorte cancela exactamente la fuerza de la gravedad, la masa se mantendría en su lugar. Este sería un único punto en el espacio de fase. Por lo tanto, se puede ver que las órbitas de este sistema son elipses concéntricas.

El ejemplo de masa sobre un resorte ilustra un aspecto importante de los sistemas mecánicos definidos por un solo objeto: es imposible que dos órbitas se crucen. Las variables que representan el estado del objeto determinan su futuro, por lo que solo puede haber una ruta dentro y una ruta fuera de cada punto de su órbita. Por lo tanto, las órbitas no pueden cruzarse entre sí. Esta propiedad es extremadamente útil para analizar sistemas que utilizan espacio de fase.