¿Qué es una spline?

Una spline es un tipo de función polinómica por partes. En matemáticas, las splines se usan a menudo en un tipo de interpolación conocida como interpolación spline. Las curvas de spline también se utilizan en gráficos por computadora y diseño asistido por computadora (CAD) para aproximar formas complejas.

La interpolación se usa cuando hay un conjunto de puntos de datos discretos y es necesario estimar otros puntos del mismo tipo de datos a partir de los puntos dados. La interpolación polinómica se usa comúnmente para pequeños números de puntos de datos; Este es un método que ajusta una función polinómica de orden n a n + 1 puntos de datos. Sin embargo, cuando el número de puntos aumenta, las interpolaciones polinómicas a menudo no se ajustan bien a los datos. En estos casos, a menudo se usa la interpolación spline.

Mientras que la interpolación polinómica se ajusta a una curva a través de todos los puntos de datos a la vez, la interpolación spline se aproxima a una curva entre cada par de puntos de datos próximos y agrega todas las curvas para crear la aproximación final. Esta es la razón por la cual las splines son funciones por partes en lugar de curvas suaves. Las técnicas de interpolación de spline comúnmente utilizadas incluyen interpolación lineal, cuadrática y cúbica.

La interpolación lineal de splines simplemente ajusta líneas rectas a través de cada par de puntos de datos consecutivos. Cada sección de línea puede tener una pendiente similar o muy diferente de la otra sección, dependiendo de la distribución de los datos. Para encontrar el valor y en un sistema de coordenadas cartesianas para un valor x dado entre dos puntos de datos, la pendiente entre los puntos dados se multiplica por la distancia entre el valor x para el que se desea el valor y y el valor x para el punto está a la izquierda. Este número se agrega al valor y a la izquierda de la ubicación deseada para obtener la aproximación para el valor y entre los dos puntos.

La interpolación de spline cuadrática aproxima los datos entre puntos consecutivos por un polinomio cuadrático. Para encontrar los coeficientes de estas ecuaciones cuadráticas, se pueden aplicar varios métodos para resolver ecuaciones simultáneas. Las técnicas de álgebra lineal o la resolución mediante el uso de software son algunas de las técnicas más comunes utilizadas. Se encuentra un valor y interpolado en una spline cuadrática usando la ecuación cuadrática general, y = a * x ₂ + b * x + c, con los coeficientes a, byc determinados previamente.

La interpolación spline cúbica utiliza una función polinómica cúbica o de tercer orden para aproximar los datos entre puntos consecutivos. Este tipo de spline generalmente se calcula utilizando software de computadora o una calculadora gráfica. Un tipo especial de interpolación spline cúbica, llamada interpolación spline cerrada o completa, utiliza pendientes dadas en los extremos de la curva para ayudar a calcular la función.