¿Qué es una función par?

Una función par se define como cualquier función en la que la declaración f (x) = f (-x) es verdadera para todos los valores reales de x. De manera equivalente, una función par es cualquier función que se define para todos los valores reales de x y tiene simetría reflexiva sobre el eje y. La rareza o uniformidad de las funciones se usa principalmente en funciones gráficas.

Una función es una relación que relaciona los elementos de un conjunto de números, el dominio, con los elementos de otro conjunto, el rango. La relación generalmente se define en términos de una ecuación matemática, donde si se inserta un número del dominio en la ecuación, se da un único valor dentro del rango como respuesta. Como ejemplo, para la función f (x) = 3x ² + 1, cuando x = 2 es el valor seleccionado del dominio, f (x) = f (2) = 13. Si el dominio y el rango son ambos de el conjunto de números reales, entonces la función se puede graficar trazando cada punto (x, f (x)), donde la coordenada x es del dominio de la función y la coordenada y es el valor correspondiente del rango de la función.

Relacionado con el concepto de la función par está la función impar. Una función impar es aquella en la que la declaración f (x) = -f (-x) para todos los valores reales de x. Cuando se grafican, las funciones impares tienen simetría rotacional alrededor del origen.

Aunque la mayoría de las funciones no son ni impares ni pares, todavía existe un número infinito de funciones pares. La función constante, f (x) = c, en la que la función solo tiene un valor, sin importar qué valor del dominio se seleccione, es una función par. Las funciones de potencia, f (x) = ^x n, son iguales siempre que n sea un número entero par. Entre las funciones trigonométricas, coseno y secante son ambas funciones pares, al igual que las funciones hiperbólicas correspondientes f (x) = cosh (x) = ( ^e x + ^e -x) / 2 yf (x) = sech (x) = 2 / ( ^e x + ^e -x).

Se pueden crear nuevas funciones pares a partir de otras funciones que se sabe que son funciones pares. Agregar o multiplicar cualquiera de las dos funciones pares creará una nueva función par. Si una función par se multiplica por una constante, la función resultante será par. Las funciones pares también se pueden crear a partir de funciones impares. Si dos funciones que se sabe que son impares, como f (x) = x y g (x) = sin (x), se multiplican juntas, la función resultante, como h (x) = x sin (x) será par .

Nuevas funciones pares también se pueden crear por composición. Una función de composición, como h (x) = g (f (x)), es aquella en la que la salida de una función, en este caso f (x), se utiliza como entrada para la segunda función: g (x ) Si la función más interna es par, la función resultante también será par independientemente de si la función externa es par, impar o ninguna. La función exponencial g (x) = ^e x, por ejemplo, no es impar ni par, pero como el coseno es una función par, también lo es la nueva función h (x) = ^e cos (x).

Un resultado matemático sostiene que cada función definida para todos los números reales se puede expresar como la suma de una función par e impar. Si f (x) es una función definida para todos los números reales, es posible construir dos nuevas funciones, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 y h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Se deduce que g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x) y, por lo tanto, g (x) es Una función par. Del mismo modo, h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x) entonces h (x) es por definición, una función extraña. Si las funciones se suman, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Por lo tanto, cada función f (x) es la suma de una función par e impar.