¿Qué es un punto de inflexión?

El punto de inflexión es un concepto importante en el cálculo diferencial. En el punto de inflexión, la curva de una función cambia su concavidad; en otras palabras, cambia de curvatura negativa a positiva, o viceversa. Este punto se puede definir o visualizar de diferentes maneras. En aplicaciones del mundo real donde se modela un sistema utilizando una curva, encontrar el punto de inflexión es a menudo crítico para anticipar el comportamiento del sistema.

Las funciones en el cálculo se pueden graficar en un plano que consiste en un eje xey, llamado plano cartesiano. En cualquier función dada, el valor x, o el valor que es la entrada en la ecuación, produce una salida, representada por el valor y. Cuando se grafican, estos valores forman una curva.

Una curva puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, dependiendo del comportamiento de la función sobre ciertos valores. Una región cóncava hacia arriba aparece en un gráfico como una curva en forma de cuenco que se abre hacia arriba, mientras que una región cóncava hacia abajo se abre hacia abajo. El punto en el que cambia esta concavidad es el punto de inflexión.

Existen algunos métodos diferentes que pueden ser útiles para visualizar dónde se encuentra el punto de inflexión en una curva. Si se colocara un punto en la curva con una línea recta dibujada a través de él que solo toca la curva, una línea tangente, y se ejecuta ese punto a lo largo de la curva, el punto de inflexión ocurriría en el punto exacto donde la tangente la línea cruza sobre la curva.

Matemáticamente, el punto de inflexión es el punto donde la segunda derivada cambia de signo. La primera derivada de una función mide la tasa de cambio de una función a medida que cambia su entrada, y la segunda derivada mide cómo esta tasa de cambio en sí misma puede estar cambiando. Por ejemplo, la velocidad de un automóvil en un momento dado está representada por la primera derivada, pero su aceleración (velocidad creciente o decreciente) está representada por la segunda derivada. Si el automóvil acelera, su segunda derivada es positiva, pero en el punto donde deja de acelerar y comienza a disminuir, su aceleración y su segunda derivada se vuelven negativas. Este es el punto de inflexión.

Para visualizar esto gráficamente, es importante recordar que la concavidad de la curva de una función se expresa por su segunda derivada. Una segunda derivada positiva indica una curva ascendente cóncava, y una segunda derivada negativa indica una curva cóncava hacia abajo. Es difícil precisar el punto exacto de inflexión en un gráfico, por lo que para aplicaciones donde es necesario conocer su valor exacto, el punto de inflexión se puede resolver matemáticamente.

Un método para encontrar el punto de inflexión de una función es tomar su segunda derivada, ponerla a cero y resolver para x. No todos los valores cero en este método serán un punto de inflexión, por lo que es necesario probar los valores a ambos lados de x = 0 para asegurarse de que el signo de la segunda derivada realmente cambie. Si lo hace, el valor en x es un punto de inflexión.