¿Qué es la fórmula de Euler?

El matemático suizo del siglo XVIII Leonhard Euler desarrolló dos ecuaciones que se conocen como la fórmula de Euler. Una de estas ecuaciones relaciona el número de vértices, caras y aristas en un poliedro. La otra fórmula relaciona las cinco constantes matemáticas más comunes entre sí. Estas dos ecuaciones se ubicaron en segundo y primer lugar, respectivamente, como los resultados matemáticos más elegantes según "The Mathematical Intelligencer".

La fórmula de Euler para poliedros a veces también se llama teorema de Euler-Descartes. Establece que el número de caras, más el número de vértices, menos el número de aristas en un poliedro siempre es igual a dos. Está escrito como F + V - E = 2. Por ejemplo, un cubo tiene seis caras, ocho vértices y 12 aristas. Conectándose a la fórmula de Euler, 6 + 8 - 12, de hecho, es igual a dos.

Hay excepciones a esta fórmula, porque solo es válida para un poliedro que no se intersecta. Las formas geométricas bien conocidas, incluidas esferas, cubos, tetraedros y octágonos, son poliedros no intersectantes. Sin embargo, se crearía un poliedro de intersección si alguien uniera dos de los vértices de un poliedro que no se intersecta. Esto daría como resultado que el poliedro tenga el mismo número de caras y aristas, pero un vértice menos, por lo que es obvio que la fórmula ya no es verdadera.

Por otro lado, se puede aplicar una versión más general de la fórmula de Euler a los poliedros que se cruzan entre sí. Esta fórmula se usa a menudo en topología, que es el estudio de las propiedades espaciales. En esta versión de la fórmula, F + V - E es igual a un número llamado característica de Euler, que a menudo se simboliza con la letra griega chi. Por ejemplo, tanto el toro en forma de rosquilla como la tira de Mobius tienen una característica de Euler de cero. La característica de Euler también puede ser menor que cero.

La segunda fórmula de Euler incluye las constantes matemáticas e, i, Π, 1 y 0. E, que a menudo se llama número de Euler y es un número irracional que se redondea a 2.72. El número imaginario i se define como la raíz cuadrada de -1. Pi (Π), la relación entre el diámetro y la circunferencia de un círculo, es aproximadamente 3.14 pero, como e, es un número irracional.

Esta fórmula se escribe como e ^{(i * Π)} + 1 = 0. Euler descubrió que si Π se sustituía por x en la identidad trigonométrica e ^{(i * Π)} = cos (x) + i * sin (x), el resultado era lo que ahora conocemos como la fórmula de Euler. Además de relacionar estas cinco constantes fundamentales, la fórmula también demuestra que elevar un número irracional a la potencia de un número irracional imaginario puede resultar en un número real.