¿Qué es la interpolación?

La interpolación implica descubrir un patrón en un conjunto de puntos de datos para estimar un valor entre dos puntos. La interpolación lineal es una de las formas más simples de interpolar: una línea que conecta dos puntos se usa para estimar valores intermedios. Los polinomios de orden superior pueden reemplazar funciones lineales para obtener resultados más precisos, pero más complicados. La interpolación se puede contrastar con la extrapolación, que se usa para estimar valores fuera de un conjunto de puntos en lugar de entre ellos.

Un conjunto discreto de puntos de datos tiene puntos con dos o más coordenadas. En un diagrama de dispersión XY típico, la variable horizontal es xy la variable vertical es y. Los puntos de datos con una coordenada x e y se pueden trazar en este gráfico para una fácil visualización. En aplicaciones prácticas, tanto x como y representan cantidades finitas del mundo real. X generalmente representa una variable independiente, como el tiempo o el espacio, mientras que y representa una variable dependiente, como la población.

Muchas veces, los datos solo se pueden recopilar en puntos discretos. En el ejemplo del monitoreo de la población de un país, solo se puede realizar un censo en ciertos momentos. Estas mediciones podrían trazarse como puntos de datos discretos en un gráfico XY.

Si solo se realiza un censo cada cinco años, es imposible saber la población exacta entre censos. En la interpolación lineal, dos puntos de datos están conectados con una función lineal. Esto significa que se supone que la variable dependiente (población) cambia a una velocidad constante para alcanzar el siguiente punto de datos. Si se necesita la población un año después de un censo, uno podría interpolar linealmente los dos puntos de datos para estimar un valor intermedio basado en la línea de conexión. Por lo general, es obvio que la variable real no cambia linealmente entre los puntos de datos, pero esta simplificación suele ser lo suficientemente precisa.

A veces, sin embargo, la interpolación lineal introduce demasiado error en sus estimaciones. La población, por ejemplo, exhibe un crecimiento exponencial en muchos escenarios. En el crecimiento exponencial, la tasa de crecimiento en sí está aumentando: una población más alta conduce a más nacimientos, lo que aumenta la tasa total por la cual aumenta la población. En un diagrama de dispersión XY, este tipo de comportamiento mostraría una tendencia que "se curva hacia arriba". Un método más preciso de interpolación puede ser apropiado para este tipo de estudio.

La interpolación polinómica implica conectar numerosos puntos de datos con una función polinómica. Una función lineal es en realidad una variedad simple de una función polinómica, es decir, un polinomio de orden uno. Sin embargo, los polinomios pueden tener órdenes superiores a uno: el orden dos es una parábola, el orden tres es una función cúbica, y así sucesivamente. Un conjunto de puntos de datos de población podría interpolarse mejor con una función polinómica que con una función lineal porque el primero puede curvarse hacia arriba y hacia abajo para coincidir con los datos.