¿Qué es el Delta de Kronecker?

La función delta de Kronecker, denotada como δ _{i, j} , es una función binaria que es igual a 1 si i y j son iguales e igual a 0 en caso contrario. Aunque técnicamente es una función de dos variables, en la práctica se usa como una taquigrafía de notación, lo que permite escribir enunciados matemáticos complicados de manera compacta. Los matemáticos, físicos e ingenieros que trabajan en álgebra lineal, análisis de tensor y procesamiento de señales digitales utilizan la función delta de Kronecker como un recurso para transmitir en una sola ecuación lo que de otro modo podría tomar varias líneas de texto.

Esta función se emplea con mayor frecuencia para simplificar la escritura de ecuaciones que involucran la notación sigma, que es en sí mismo un método conciso para referirse a sumas complicadas. Por ejemplo, si una empresa tiene 30 empleados { e ₁ , e ₂ ... e ₃₀ }, y cada empleado trabaja un número diferente de horas { h ₁ , h ₂ ... h ₃₀ } a una tarifa por hora diferente { r ₁ , r ₂ ... r ₃₀ }, el dinero total pagado a estos empleados por su trabajo es igual a e ₁ * h ₁ * r ₁ + e ₂ * h ₂ * r ₂ + e ₃ * h ₃ * r ₃ +. .. e ₃₀ * h ₃₀ * r ₃₀ . Los matemáticos pueden escribir esto de manera concisa como ∑ _i e _i * h _i * r _i .

Al describir sistemas físicos que involucran múltiples dimensiones, los físicos con frecuencia deben usar sumas dobles. Las aplicaciones científicas prácticas son muy complejas, pero un ejemplo concreto muestra cómo la función delta de Kronecker puede simplificar las expresiones en estos casos.

Hay tres tiendas de ropa en un centro comercial, cada una de las cuales vende una marca diferente. Hay un total de 20 estilos de camisas disponibles: ocho ofrecidos por la tienda 1, siete ofrecidos por la tienda 2 y cinco ofrecidos en la tienda 3. Doce estilos de pantalones están disponibles: cinco en la tienda 1, tres en la tienda 2 y cuatro en la tienda 3. Uno puede comprar 240 conjuntos posibles, porque hay 20 opciones para la camisa y 12 opciones para los pantalones. Cada combinación produce un atuendo diferente.

No es tan simple calcular la cantidad de formas de seleccionar un atuendo en el que la camisa y los pantalones son de diferentes tiendas. Se puede seleccionar una camisa de la tienda 1 y pantalones de la tienda 2 en 8 * 3 formas. Hay 8 * 4 formas de seleccionar una camisa de la tienda 1 y pantalones de la tienda 3. Continuando de esta manera, se encuentra que el número total de atuendos que usan artículos de diferentes tiendas es 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.

Se podría considerar la disponibilidad de camisas y pantalones como dos secuencias, { s ₁ , s ₂ , s ₃ } = {8, 7, 5} y { p ₁ , p ₂ , p ₃ } = {5, 3, 4} . Entonces, la función delta de Kronecker permite que esta suma se escriba simplemente ∑ _i ∑ _j s _i * p _j * (1- δ _{i, j} ). El término (1- δ _{i, j} ) elimina aquellos conjuntos que comprenden una camisa y pantalones comprados en la misma tienda porque en ese caso i = j , entonces δ _{i, j} = 1 y (1- δ _{i, j} ) = 0. Multiplicar el término por 0 lo elimina de la suma.

La función delta de Kronecker se usa con mayor frecuencia al analizar espacios multidimensionales, pero también se puede usar al estudiar espacios unidimensionales, como la recta numérica real. En ese caso, a menudo se usa una variante de entrada única: δ ( n ) = 1 si n = 0; δ ( n ) = 0 de lo contrario. Para ver cómo se puede usar la función delta de Kronecker para simplificar enunciados matemáticos complejos sobre los números reales, se pueden considerar las siguientes dos funciones cuyas entradas son fracciones simplificadas:

f (a / b) = a si a = b +1, f (a / b) = -b si b = a +1, y f (a / b) = 0 en caso contrario.
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * δ ( a - b +1)

Las funciones f y g son idénticas, pero la definición de g es más compacta y no requiere inglés, por lo que cualquier matemático del mundo puede entenderla.

Como se ilustra en estos ejemplos, las entradas de la función delta de Kronecker suelen ser enteros que están conectados a alguna secuencia de valores. La distribución delta de Dirac es un análogo continuo de la función delta de Kronecker utilizada al integrar funciones en lugar de sumar secuencias.