¿Qué es el logaritmo natural?

El logaritmo natural es el logaritmo con la base e . El matemático escocés John Napier (1550-1617) inventó el logaritmo. Aunque él mismo no introdujo el concepto del logaritmo natural, la función a veces se llama el logaritmo napieriano. El logaritmo natural se usa en numerosas aplicaciones científicas y de ingeniería.

John Napier desarrolló el nombre "logaritmo" como una combinación de las palabras griegas logos y arithmos . Las traducciones al inglés son "ratio" y "números", respectivamente. Napier pasó 20 años trabajando en su teoría de los logaritmos y publicó su trabajo en el libro Mirifici Logarithmorum canonis descriptio en 1614. La traducción al inglés del título es Una descripción de la maravillosa regla de los logaritmos .

El logaritmo natural se caracteriza como el logaritmo de la base e , que a veces se llama la constante de Napier. Este número también se conoce como el número de Euler. La letra "e" se usa para honrar a Leonhard Euler (1707-1783) y fue utilizada por primera vez por el propio Euler en una carta a Christian Goldbach en 1731.

La inversa de la función exponencial natural, definida como f (x) = e ^x , es la función logarítmica natural. Esta función se escribe como f (x) = ln (x). Esta misma función se puede escribir como f (x) = log _e (x), pero la notación estándar es f (x) = ln (x).

El dominio del logaritmo natural es (0, infinito) y el rango es (-infinito, infinito). El gráfico de esta función es cóncavo, mirando hacia abajo. La función en sí es creciente, continua y uno a uno.

El logaritmo natural de 1 es igual a 0. Suponiendo que ayb son números positivos, entonces ln (a * b) es igual a ln (a) + ln (b) y ln (a / b) = ln (a) - En (b). Si ayb son números positivos yn es un número racional, entonces ln (a ⁿ ) = n * ln (a). Estas propiedades de los logaritmos naturales son características de todas las funciones logarítmicas.

La definición real de la función logarítmica natural se puede encontrar en la integral de 1 / t dt. La integral es de 1 a x con x> 0. El número de Euler, e , denota el número real positivo de modo que la integral de 1 / t dt de 1 a e es igual a 1. El número de Euler es un número irracional y es aproximadamente igual a 2.7182818285.

La derivada de la función logarítmica natural con respecto a x es 1 / x. La derivada con respecto a x de la inversa de la función logarítmica, la función exponencial natural, es sorprendentemente la función exponencial natural nuevamente. En otras palabras, la función exponencial natural es su propia derivada.