¿Qué es la topología?

La topología es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de superficies o espacios abstractos, donde las cantidades medibles no son importantes. Debido a este enfoque único de las matemáticas, la topología a veces se denomina geometría de láminas de caucho, porque se imagina que las formas bajo consideración existen en láminas de caucho infinitamente estirables. En la geometría típica, las formas fundamentales como el círculo, el cuadrado y el rectángulo son la base de todos los cálculos, pero, en topología, la base es la continuidad y la posición de los puntos entre sí.

Un mapa topológico puede tener puntos que juntos formarían una forma geométrica como un triángulo. Esta colección de puntos se mira como un espacio que permanece sin cambios; sin embargo, no importa cómo esté torcido o estirado, como los puntos en una lámina de goma, permanecerá sin cambios, sin importar en qué forma se encuentre. Este tipo de marco conceptual para las matemáticas a menudo se usa en áreas donde a menudo se produce deformación a gran o pequeña escala, como pozos de gravedad en el espacio, análisis de física de partículas a un nivel subatómico y en el estudio de estructuras biológicas como el Cambio de forma de las proteínas.

La geometría de la topología no se ocupa del tamaño de los espacios, por lo que el área de la superficie de un cubo tiene la misma topología que la de una esfera, ya que una persona puede imaginar que están torcidos para cambiar de una forma a otra. Estas formas que comparten características idénticas se denominan homeomorfas. Un ejemplo de dos formas topológicas que no son homeomorfas, o que no pueden modificarse para parecerse entre sí, son una esfera y un toro, o una forma de rosquilla.

Descubrir las propiedades espaciales centrales de los espacios definidos es un objetivo principal en la topología. Un mapa topológico de conjunto de nivel base se conoce como un conjunto de espacios euclidianos. Los espacios se clasifican por su número de dimensiones, donde una línea es un espacio en una dimensión y un plano un espacio en dos. El espacio que experimentan los seres humanos se conoce como espacio euclidiano tridimensional. Los conjuntos de espacios más complicados se denominan múltiples, que parecen diferentes a nivel local que a gran escala.

Los conjuntos de múltiples y la teoría de nudos intentan explicar superficies en muchas dimensiones más allá de lo que se puede percibir en un nivel humano literal, y los espacios están vinculados a invariantes algebraicos para clasificarlos. Este proceso de teoría de la homotopía, o la relación entre espacios topológicos idénticos, fue iniciado por Henri Poincaré, un matemático francés que vivió desde 1854 hasta 1912. Los matemáticos han demostrado el trabajo de Poincaré en todas las dimensiones, excepto en tres, donde los esquemas completos de clasificación para topologías siguen siendo difíciles de alcanzar.